En
el siguiente Blog te damos una introducción a las cuatro unidades previas
vistas en la materia de Desarrollo de Habilidades del Pensamiento Matemático.
Deseamos les sea de mucha ayuda ya que está hecho para complementar nuestros
conocimientos.
Integrantes:
· María Cristina Ramírez Rivera
· Grecia Marlemn Lumbreras Hernández
· Lizeth Guadalupe Hernández Ruelas
· Jazmín Lizeth Arguijo Rocha
UNIDAD 1
Teoría
de conjuntos.
La
teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las aperciones
de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos
en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una
herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Generalmente
usamos las letras mayúsculas para denotar conjuntos y las minúsculas para sus
elementos. Por ejemplo podemos llamar A al conjunto de los días de la semana y
X al día Lunes. Para simbolizar que un objeto es elemento de un conjunto lo
escribimos de la manera siguiente:
X E A = se lee X pertenece al conjunto A
Otra
manera para denotar un conjunto es la de escribir los nombres de los elementos
que lo forman entre un par de llaves o corchetes.
Enumerativa:
A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado,
Domingo}
Esta
forma es conocida como enumerativa otra notación para los conjuntos es por
descripción, esta nos permitirá abreviar la representación de los conjuntos o
enumerar los elementos que los forman.
Descripción:
E = {x | x sea una de las estaciones del año}
Es
toda oración en la que interviene alguna variable y al conjunto que nos
proporciona los elementos para reemplazar a la variable lo llamamos el conjunto
de lo reemplazamiento.
Ejemplos:
Ejemplo1:
Ejemplo 2:
Conjunto
de verdad:
Los
elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea
verdadera, forman un conjunto que llamamos el conjunto de verdad.
Cardinalidad
de conjuntos:
La
cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que posee un conjunto.
Conjunto
finito:
Es
un conjunto bien ordenable, tal que cada subconjunto no vacío, además de tener
mínimo (por ser bien ordenable) tiene máximo.
Conjunto
infinito:
Son
aquellos en los que el proceso de conteo de sus elementos no termina.
Conjunto
universal:
La
totalidad de los elementos considerados para determinada operación se denomina
conjunto universal y se representa con la letra “U”.
Conjuntos
equivalentes:
Si
dos conjuntos poseen la misma cardinalidad se dice que son conjuntos
equivalentes. Ya que tienen el mismo número de elementos, y entre ambos existe
una correspondencia de uno a uno que se llama biunívoca.
Conjuntos
iguales:
A
y B son iguales cuando cada elemento de A es a la vez elemento del conjunto B y
cada elemento de B es también elemento de A.
Subconjuntos:
Al
conjunto R que está formado por elementos que también pertenecen al conjunto P
se le llama subconjunto de P.
Operaciones
con conjuntos:
Si
reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B
obtendremos un tercer conjunto y la operación efectuada se llama unión.
Ejemplo
3:
Intersección:
Se
define como la operación de 2 conjuntos para obtener un tercero. Una
intersección se indica con el símbolo “∩”, cuyos elementos son los que
simultáneamente pertenecen a los dos conjuntos anteriormente dados.
Complemento:
Son
todos los elementos que le faltan a un conjunto para completarse.
Diagrama
de Venn:
Es
muy útil ilustrar las relaciones entre conjuntos mediante diagramas o figuras
cerradas que indican que los elementos comprendidos dentro de esas áreas
pertenecen al conjunto. A estos diagramas se le conoce como los diagramas de
Venn, en honor al matemático ingles Jhon Venn.
Inducción
y deducción:
Lo
lógico tiene por objeto, facilitarnos el camino. Para llegar a la verdad,
utilizando para ello el método racional que procede en dos formas, inductiva y
deductiva.
Forma
inductiva:
El
razonamiento inductivo no siempre conduce al resultado exacto y debe usarse con
precaución; toma como base una suposición, por lo que sus conclusiones
representan ser no probadas.
Forma
deductiva:
Es
el proceso mediante el cual una persona usa un principio general aceptando como
verdadero, para obtener una conclusión en un caso o hecho en particular.
Proposiciones
simples y abiertas:
En
matemáticas, tenemos que tratar con oraciones para decir si son verdaderas o
falsas, para eso las oraciones usan términos o símbolos que tienen significado
único y bien definido, las oraciones de las que podemos decir si son falsas o
verdaderas se llaman proposiciones.
UNIDAD 2
Relaciones
y funciones:
Relación
es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio
le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una
Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del
Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De
las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son
relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. También debemos agregar
que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas
las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Parejas
ordenadas una pareja ordenada se compone de dos elementos “x” y “y”
escribiéndose (x, y) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento.
Teniéndose que dos parejas ordenadas (x, y) y (z, w) serán iguales si x es
igual a x y y = w.
Producto
cartesiano:
El
plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es
llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de
origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de
puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las
coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes,
respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano
cartesiano tomando como base sus coordenadas.
Relaciones simétricas:
Cuando una relación es lo
opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento está
relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no está relacionado con
el primero, entonces decimos que es asimétrica, lo que denotamos
formalmente.
En este caso, decimos que R
cumple con la propiedad de asimetría.
Relaciones transitivas:
Una relación
binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando
se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un
tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Dado el conjunto A y
una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R
c se cumple a R c.
La propiedad anterior se
conoce como transitividad.
Relaciones de equivalencia:
Relación de equivalencia
sobre un conjunto, permite establecer una relación entre los elementos del conjunto
que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos
elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos
similares.
Ejemplos:
UNIDAD 3
Sistema
de ecuaciones:
Ecuaciones
lineales:
¿Qué
entiendes por ecuación?
Son
sinónimo de igualdad, es una expresión algebraica que compara dos valores
afirmando que son iguales
X1
– expresión
2x2
– termino
Un
sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de
ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales
(es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado),
definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Ejemplos:
UNIDAD 4
Matrices:
En
matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor
generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se utilizan para múltiples
aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los
sistemas de ecuaciones lineales o para representar aplicaciones lineales (dada
una base); en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los
datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse,
multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un
concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Matriz
fila: es una matriz que solo tiene
una fila es decir m=1 y por lo tanto es de orden 1xn.
Matriz
columna: es una matriz que solo tiene
una columna es decir n=1 y por lo tanto es de orden mx1.
Matriz
cuadrada: es aquella que tiene el
mismo número de filas que de columnas es decir m=n.
Matriz
traspuesta: dada una matriz A, se llama
traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando
filas por columnas.
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